实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。下面是小编为大家整理的北师大版《实数》教学设计5篇，希望大家能有所收获。
3、了解有理数范围内的运算法则、运算律、运算公式和运算顺序在实数范围内同样适用。
4、会进行实数的大小比较，会进行实数的简单运算。 过程与方法
1、通过计算器与计算机的应用，形成自觉应用的意识，从而能应用与实数有关的运算。
2、经历作图和观察的过程，掌握实数与数轴一一对应的关系。 情感与态度
1、感受数系的扩充，通过自主探究，感受实数与数轴上点的一一对应的关系，体验数形结合的优越性，发展学生的类比与归纳能力。
2、学生经历数系扩展的过程，体会到数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。 教学重难点及突破 重点
2、了解数轴上的点与实数一一对应，并能用数轴上的点来表示无理数。 难点
1、用数轴上的点来表示无理数;
通过让学生对比有理数和无理数的特点，总结无理数的概念，以加深对无理数的概念的记忆。同时，让学生动手作图，直观展现实数和数轴的一一对应关系。教学中通过回忆有理数的运算规则过渡到实数的运算，学生容易接受和掌握。 教学准备：直尺，圆规。 教学过程
一、创设情境，导入新课
1、小学学习阶段，我们学习了整数、分数和小数，均为整数，进入初一阶段，引入负数，从而把数的范围扩充到了有理数。下面 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现?
3、1/4 2/5 1/3 学生计算后举手回答，教师将答案书写出来。 3=3.0 0.25 0.4
2、问题：你发现了什么?
学生回答：有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式(或任何有限小数或无限循环小数也都是无理数)。
问题：那我们前面所学的许多平方根和立方根都是无限不循环小数，那这些小数是不是有理数?
学生很自然的回答不是，从而引入新的数——无理数，把数扩充到实数范围也就顺利成章。
由前面我们知道，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数;有理数和无理数统称为实数。分类如下： 整数 实数
有理数分为正有理数和负有理数，那么无理数呢?是无理数吗?
学生回答：可化为无限不循环小数，所以也只能化为无限不循环小数，可见与均是无理数。可知，无理数也有正、负之分，因此把正有理数、正无理数和在一起形成正实数，同样，负有理数、负无理数合在一起称为负实数，而0既不是正数也不是负数。从而得到实数的另一种分类方法： 正有理数 负有理数 0
探究1 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少? O1 学生之间互相交流、讨论，一段时间后请学生回答：点01的坐标是π。 肯定学生的回答，说明：无理数π可以用数轴上的点表示出来。 探索2 你能在数轴上找到表示的点，这说明一个什么问题? 学生讨论交流，并举手回答。教师肯定学生的表现，并总结：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点，有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
例1 整数有： { } 无理数有：{ } 有理数有：{ } 学生认真完成，并举手回答。根据学生的回答，适当讲解。
2、有理数和数轴上的点一一对应吗?无理数和数轴上的点一一对应吗?实数和数轴上的点一一对应吗?
P86-87习题14.3第
1、
1、有理数和无理数统称为实数。
本节课，结合前面的有理数，能使学生在给出的一些数中判断出哪些是有理数，哪些是无理数是本节难点，再通过多的举例练习，让他们找到判断的关键，达到了设计的目标。
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算. 3.正确运用公式 . 4.了解二次根式和最简二次根式的概念.
1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力. 2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.
通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算、，重要的是培养
这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务. 〖教学重点〗
1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算. 2.发现规律：.并能用规律进行计算. 〖教学难点〗
类比的学习方法. 2.发现规律的过程. 〖教学方法〗 尝试法 〖教学过程〗
一、课前布置
自学：阅读课本P112~P113，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问).
二、师生互动
(一)二次根式的理解：形如()的式子叫做二次根式 说明：1.被开方数大于0; 2. ()具有非负数的特性. 3.性质：一般地是a的算术平方根，于是有 ? 练习：
1.若有意义，则______ 2. (06泸州中考)要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是() A. x≥1
B. x≤1
C. x>1
D. x<1 3.(06海淀)已知实数x，y满足，求代数式的值。 4.计算：(1); (2); ? 解：1.
2. A 3. 解：依题意
解得
当时，
4.解：(1); (2)。
(二)一起交流课本P112的“做一做”
[师生共析]在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。
关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。 1.理解积的算术平方根的性质，必须注意：
(1)被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立. (2)这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式(或因子)能开得尽方，可以利用此公式及公式=a(a≥0)，将这些因式(或因子)开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解. (3)积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立. 如：= ···(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0). (4)积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即·=(a≥0，b≥0)，运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算. 2. 二次根式的性质： =· (a≥0，b≥0)， =(a≥0,b>0).
[生]被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简. [生]被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母. 如：
[师]如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母. (鼓励学生讲解教师提供的例题) 如：
巩固练习：
化简：(1); (2);(3);(4);(5);(6).
(四)最简二次根式
条件一，即为被开方数不含分母;条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数. 要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可.
1.化二次根式为最简二次根式的方法： (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简. (2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简. 2. 二次根式的化简应注意以下问题：
(1)被开方数含有带分数，通常化成假分数. (2)被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式. (3)根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置(即原来是分母的移到根号外后还是分母).
(4)在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件. 练习：1 下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由. (1) ;(2) ;(3) ;(4);
(5);(6)(x≤0);(7)
本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断. 1.解
(1) 中的0.3不是整数，所以不是最简二次根式;
(2) 中的27x=32·3x，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式. (3) 的8a2b=(2a)2·2b，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式; (4) 中的a2+a4=a2(1+a2)，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式; 总结
本题的易错点是误认为,不是最简二次根式，误认为是最简二次根式.
1. 下列各式：，，，，，， (a<),中是二次根式的有
. 2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义. (1);
(2);
(3).
3. 计算下列各式： (1)()2;
(2);
(3)(2)2.
1.分析：本题考查二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义去判断. 解
∵
，，的根指数不是2，∴
它们不是二次根式. ∵
在中，被开方数-4<0，∴
不是二次根式. ∵
在中的被开方数2a-1有可能小于0，∴
不是二次根式. ∵
在中，被开方数4>0，∴
是二次根式. ∵
在=中被开方数(a+1)2≥0，∴
是二次根式. ∵
在中被开方数a2+2>0,∴
本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件，注意这个隐含条件是本题的解题关键. 2.解
(1)2x+3≥0，即x≥-. ∴
当x≥-时，有意义. (2)1-3x≥0，即x≤. ∴
当x≤时，有意义. (3)∵
x不论取何实数，总有(x-5)2≥0， ∴
x为任意实数，有意义. 3.分析：(1)由()2=a(a≥0)直接可得，(2)要注意应先计算，然后再求算术平方根，(3)根据积的乘方法则，这里2也要平方. 解
(1)()2=15; (2)==;
(3)(2)2=22×()2=4x. 总结
本题的易错点是第(3)小题的2不平方，错成(2)2=2x.
例1
最简二次根式
3、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的义。
3、经历观察与动手作图实践，让学生知道实数和数轴上的点是一一对应的。
4、通过类比使学生明白实数范围内的绝对值、相反数、倒数等含义与有理数范
1、了解到人类对数的认识是不断发展的，体会数系扩充对人类发展的作用.
3、培养学生的合作交流能力与学习数学的兴趣 ，培养学生敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新的知识。
知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数.
判断个别特殊的数是有理数还是无理数，体会数轴上的点与实数是一一对应的关系。 3. 教学用具 教学准备：多媒体 教学过程：
1、认识无理数
问题1：请大家把下列各数3，
大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间。
3=3.0，4/5=0.8，
生：3，是有限小数，=， 是无限循环小数。 表示成小数，它们是有限小数还是无限
师：上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
师：除上面的，等，圆周率π=3.14159265„也是一个无限不循环小数，0.5858858885„(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数。
问题2： 是无理数吗? 2是无理数吗? 0.01001000100001„是无理数吗? 问题3：你能再举出一些你见到过的无理数吗?
问题4：让学生在独立思考的基础上，进行讨论交流：有理数存在哪几种形式? 在学生回答的基础上让学生总结出无理数常见的三种形式：
①开方开不尽的数都是无理数(如
②圆周率π类(简记为 带π的)
问题5：带根号的数一定是无理数么?
2、引入实数
生：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
教师引导学生分析，得出结论：实数也可以分为正实数、0、负实数三大类。 生讨论后回答：
实数：
正无理数{ } 负有理数{ } 负无理数{ } }
师：你会在数轴上画出表示的点么?
让学生尝试在数轴上画出表示、等的点。
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
(1)有理数包括整数、分数和零„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ ( 对) (2)无理数都是开方开不尽的数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ ( 错 ) (3)不带根号的数都是有理数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( 错 ) (4)带根号的数都是无理数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( 错)
(5)无理数都是无限小数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(对 )
(6)无限小数都是无理数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( 错 )
(7)无理数就是带根号的 数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ ( 错 )
数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( 错 )
2.数中，无理数有( C ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
3.填空
(1)整数集合{
(2)有理数集合{
(3)无理数集合{
这节课你有什么新发现?知道了哪些新知识?
无理数的特征:
1.圆周率π及一些含有π的数
2.开不尽方的数
实数(1)
1、无理数的定义：
无理数的常见形式：
(1)按有理数和无理数分 (2)按正负分
①了解无理数和实数的概念以及实数的分类; ②知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法：
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。
②敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
①了解无理数和实数的概念; ②对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。
3. 教学用具 4. 标签
一、复习引入无理数：
归纳：任何一个有理数(整数或分数)都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。
按照正负分类如下：
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗?
活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。
归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
三、应用：
1、下列实数中，无理数有哪些?
注：①带根号的数不一定是无理数，
⑴无限小数都是无理数; ⑵无理数都是无限小数; ⑶带根号的数都是无理数;
⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数; ⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。
3、任意写出三个合适的数填在相应的集合里：
1、
2、3题;
本节课是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围。在中学阶段，大多数问题是在实数的范围内研究的，它也是进一步二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础。因此，让学生正确而深刻地理解实数是非常重要的。
无理数的引入，数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系及分类思想，所以这节课不仅仅是完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数美的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。
根据教学大纲对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生实际情况，我把 本节课的教学重难点确定为：
过程与方法：通过无理数的引入，经历数系从有理数扩展到实数的过程，
情感与态度：了解无理数的产生过程，使学生感受丰富的数学文化，
二、学情分析
新的《课程标准》对学生掌握实数要求不高，但实数的知识却贯穿中学数学始终，所以我们只能逐步加深学生对实数的认识。
在学习本节课前，学生已掌握平方根、立方根同时也初步接触过等具体的无理数。无理数的概念比较抽象，特别是无理数在数轴上的表示、实数与数轴上的一一对应关系都需要一个渐进的理解过程。要让学生充分讨论与思考，归纳与总结，历经知识发展与运用。
1.教法分析
为了更好的把握教学内容的整体性、连续性，本节课采用问题导入法引入新课，让学生回顾认识数的过程;通过类比归纳法和探究分析法经历实数的认识过程，从而较好地完成实数概念的构建和实数与数轴上的点的一一对应关系的认识，达到教学目标。
2.学法分析
为了有效地突出重点、突破难点，本节课我采用以学生自主探究、小组合作交流相结合，把无理数和实数的概念及知道实数与数轴的点的一一对应关系确定为教学重点;无理数的认识确定为教学难点。课堂上充份调动学生的积极性，启发学生进行观察、类比、分析，让参与到概念的建立，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。
四、 教学媒体
教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从生活实际出发，让学生亲身感受数学的奇妙，激发学生学习的兴趣。增强用数学的意识，养成及时归纳总结的良好习惯，提高课堂效率。
曾经有人说过这么一句话“人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者，研究者，探究者。”为此在教学过程中我努力贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想，我设计了以下课堂教学流程。
第三个环节：探究新知，拓展深化
第四个环节：应用新知，及时反馈
1、探究新知，引入课题
问题1 有理数包括整数和分数，如果将下列分数写成小数的形式，你有什么发现?
师生活动：学生完成分数到小数的换算，观察小数的形式。教师逐步引导学生对小数点后数字的探究，让学生发现：任意一个分数一定都能写出有限小数或是无限循环小数的形式;进一步引导学生对整数的研究，让学生得出结论：整数可以看成小数点后是0的小数。最后总结：任何一个有理数都可以写成有限小数或是无限循环小数的形式;反过来，任何有限小数和无限循环小数也都是有理数。
设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式。注重新旧知识的连贯性，使学生体会到学习的内容是融会贯通的，激发学生的求知欲。
2、自学新知，自主探索
师生活动：通过对数的归纳辨析，与有理数对照，师生共同归纳出前两节学过的一些平方根和立方根都是无限不循环小数，他们不同于有限小数和无限不循环小数，是一类不同于有理数的数，由此教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫无理数，并指出π=3.141 592 65…也是无理数。像有理数一样，无理数也有正负之分，例如、、π是正无理数，—，—，—π是负无理数，进而给出实数的概念及实数的分类。分类如下：
设计意图：让学生回忆曾经学过的无限不循环小数是不同于有理数的数，为教师引出无理数概念作准备。
问题3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗?
师生活动：教师在逐步引导时，启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重不漏。学生独立思考后，小组讨论得到如下分类：
设计意图：通过学生互相的讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数整体性的认识。
3、探究新知，拓展深化
问题4 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?你能在数轴上找到表示无理数的点吗?
师生活动：学生独立思考后讨论交流，借助第6.1节的得出和手中的学具进行操作(图1)
设计意图：通过具体操作，让学生知道无理数也可以在数轴上表示。
问题5 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少?
师生活动：教师参与并指导实际操作，指出无理数π可以用数轴上的点表示出来(图2)。由于学生知识水平的限制，他们不可能也没有必要将所有无理数都用数轴上的点表示出来。解决了问题4,5后，教师直接给出实数与数轴上的点是一一对应的结论。
上一篇：北师大版只有一个地球的教学设计
下一篇：亿以内数的写法教学设计
